Sabemos que en España el tema de la bandera nacional puede herir algunas sensibilidades, pero hay cuestiones que incumben a cualquier bandera, independientemente de lo que simbolice. ¿Qué ocurre con el mástil? ¿Vale cualquier longitud de mástil para cualquier tamaño de bandera? Parece evidente que no ¿verdad? Razonemos utilizando inferencia estadística.
Según varias empresas dedicadas a la fabricación de banderas, las relaciones entre las medidas de los mástiles y las dimensiones de las banderas son:
Longitud de los mástiles | Tamaño sugerido para la bandera |
2 metros | 70×100 cm |
3 metros | 70×100 cm |
4 metros | 100×150 cm |
6 metros | 150×225 cm |
8 metros | 200×300 cm |
10 metros | 200×300 cm |
12 metros | 300×450 cm |
Hagamos una representación gráfica para ver si obtenemos algún tipo de dependencia. En el eje de abscisas aparece la longitud del mástil y en el de ordenadas el ancho y el largo de la bandera. Los puntos verdes son los relativos al ancho y los puntos azules los relativos al largo:
A simple vista parece que los puntos se podrían ajustar mediante una recta y con las herramientas que se estudian durante la ESO, en particular en 4º de ESO, podemos calcular cuál es la ecuación de esa recta. Es más, GeoGebra es un gran aliado para realizar tanto los cálculos como las representaciones gráficas.
En el caso de los puntos que representan la longitud de los mástiles y el ancho de las banderas, la ecuación de la recta de regresión (en rojo) es \(y=0.2201x+0.142\); y en el caso de los puntos que representan la longitud de los mástiles y el largo de las banderas, la ecuación de la recta de regresión (en amarillo) es \(y=0.3349x+0.1685\). Las representaciones gráficas son:
Así que si conocemos la longitud de un mástil en el que queremos colocar una bandera, podremos calcular la anchura o la largura de dicha bandera. Por ejemplo, el mástil de la bandera de España que hay en la rotonda de Puerto Chico, en Santander, mide 25.1 m. Con lo cual las dimensiones de la bandera son:
Ancho: \(y = 0.2201·25.10+0.142 = 5.6674 \,m\)
Largo: \(y = 0.3349·25.1+0.1685 = 8.5744 \,m\)
Realmente si tenemos en cuenta que la proporción entre el largo y el ancho de la bandera de España (y de Cabra) es 3:2, una vez que sabíamos el ancho, el largo lo podríamos haber calculado multiplicando el ancho por 1.5: \(5.67\cdot1.5=8.505 \,m\), que, como vemos, se acerca a la medida que nos daba la recta de regresión.
En cuanto a los diagramas residuales de cada una de las rectas, y como cabría esperar, no hay grandes diferencias.
Diagrama residual del ancho | Diagrama residual del largo |
En cada diagrama residual aparecen los puntos correspondientes a cada longitud del mástil. La distancia de cada uno de esos puntos a la línea en 0 representa lo mala que es la predicción para esa longitud del mástil. Como vemos las predicciones para longitudes mayores del mástil son peores.
¿Y qué ocurre al revés? Si tenemos en nuestra casa una bandera de unas determinadas dimensiones, ¿qué longitud deberá tener el mástil en el que la coloquemos? Está claro que la manera de proceder es la misma, pero en nuestras nuevas rectas de regresión la variable independiente será el ancho o el largo de la bandera y la dependiente la longitud del mástil. Obtenemos:
Longitud del mástil a partir del ancho (en rojo): \(y = 4.3289x – 0.3121\)
Longitud del mástil a partir del largo (amarillo): \(y = 2.8494x – 0.186\)
Supongamos que la bandera que tenemos en casa mide 0.5 m de ancho. Tendremos que colocarla en un mástil de 1.85 m, puesto que:
Evidentemente, al igual que en el caso anterior, los diagramas residuales también se pueden analizar y así podremos saber cómo de buenas son las predicciones que realizan nuestras rectas de regresión.
En definitiva, que después de leer esta entrada ya no tenemos excusas para colocar nuestras banderas en los mástiles adecuados. 😉
¡Felices Fiestas y feliz 2024, que esperemos que esté lleno de buenas matemáticas!