El método de exhaución es un procedimiento geométrico ideado por los griegos mediante el cual podemos aproximarnos al perímetro o al área de figuras curvas, aumentado la precisión de la aproximación conforme avanzamos en el cálculo.
El ejemplo más conocido del método de exhaución es el ideado por Arquímedes y recogido en su libro Método. Allí se muestran los dos procedimientos que utilizó Arquímedes para determinar la longitud de la circunferencia.
- Uno de ellos consistía en ir inscribiendo polígonos regulares en una circunferencia. Cuantos más lados tengan dichos polígonos más se acercará el perímetro de estos a la longitud de la circunferencia. (Lo mismo ocurre con el área). Si pincháis en al siguiente imagen podéis comprobarlo moviendo el deslizador, que nos permite cambiar el número de lados de los polígonos regulares inscritos.
- El otro consistía en ir circunscribiendo polígonos regulares a la circunferencia. Así, al igual que antes, al aumentar el número de lados de los polígonos, el perímetro de estos se acerca a la longitud de la circunferencia, y cuantos más lados tengan los polígonos regulares más precisa será la aproximación. (Lo mismo ocurre con el área.)
Arquímedes no se quedó sólo en el cálculo de longitudes y áreas, sino que utilizando los dos procedimientos consiguió obtener una aproximación del número \[\pi\].
Si pincháis sobre la siguiente imagen podréis ver cómo cambian los decimales de las aproximaciones por exceso y por defecto del número \[\pi\], siendo más certeras, cuantos más lados tienes los polígonos circunscritos e inscritos. También podéis cambiar el radio de la circunferencia para comprobar que el valor de \[\pi\] no depende del tamaño de la circunferencia. Es una constante.
En el s. XVI se reeditaron las obras de Arquímedes y estas, unidas a los avances que se produjeron en el álgebra, con las obras de Targaglia, Cardano y Viete, hicieron que en el s. XVII Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo diferencial e integral, unificándolos. Posteriormente, se llegaría a dar la definición rigurosa de límite, porque, aunque en la actualidad estudiemos primero los límites y después las derivadas y las integrales, históricamente el orden en el que surgieron fue el contrario.
El método de Arquímedes es considerado el precursor de las llamadas sumas de Riemman que nos permiten definir rigurosamente la integral de una función en un intervalo:
Si tenemos una función continua definida en un intervalo y nos piden que calculemos el valor del área encerrada por la función, el eje OX y los extremos del intervalo.
- El intervalo lo podemos descomponer en intervalos más pequeños, subintervalos, con la misma base, y sobre cada uno de ellos podemos construir rectángulos que tenga la altura de la función y queden por debajo de ella. Si calculamos el área de cada uno de esos rectángulos y las sumamos, obtendremos una aproximación por defecto del área encerrada por la función, el eje OX y los extremos del intervalo. Son las sumas inferiores de Riemman.
- Si sobre la misma función y los mismos subintervalos, construimos ahora rectángulos con la misma altura que la función pero que queden por encima de ella y volvemos a calcular el área de cada uno de esos rectángulos y las sumamos, obtendremos una aproximación ahora por exceso del área encerrada por la función, el eje OX y los extremos del intervalo inicial. Son las sumas superiores de Riemman.
- Si ahora hacemos cada vez más pequeños los subintervalos en los que hemos dividido al intervalo de partida, las áreas de los rectángulos inferiores y superiores cada vez se acercarán más al área encerrada por la función, el eje OX y los extremos del intervalo inicial. (Como ocurría antes con los polígonos inscritos y circunscritos). Con lo cual, en el límite, obtendremos el área pedida.
Si volvéis a pinchar en la siguiente imagen podréis comprobar las explicaciones anteriores, ver las sumas inferiores, las sumas superiores y el valor del área encerrada por la función \[f(x)=x^2\] y el eje OX en el intervalo [0,3]. El deslizador os permite cambiar el número de subintervalos en los que dividís al intervalo de partida. En la parte de la izquierda, pinchado sobre los puntos de colores podéis hacer que se vean los rectángulos inferiores, los superiores o el valor de la integral (en este caso el área) de la función en el intervalo.
