El curso sigue avanzando y mis alumn@s ya han terminado la parte de álgebra y han realizado el tan temido examen de problemas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
La verdad es que es curioso que los alumn@s pregunten varias veces a lo largo de un curso para qué sirve cierta rama de las matemáticas, o las matemáticas en general, y cuando llega la resolución de problemas, que muestra claramente una utilidad de las matemáticas, no la disfruten, la odien e incluso la abandonen. (Así es, hay alumnos que asumen que van a suspender este examen y deciden no prepararlo. ¿Qué estaremos haciendo mal que el esfuerzo está tan menospreciado?)
En esta ocasión, tenía claro que la historia que quería contarles era la de las matemáticas indias puesto que del libro Lilavati, que Bhaskara Acharia dedica a su hija, haríamos algunos problemas. Así que como reto motivador les propuse uno de esos problemas, que os animo a resolver:
Además, y según he podido comprobar, no reconocen la importancia del número 0, ni conocen cómo se introdujo en nuestro sistema de numeración. De hecho, sabían que nuestro sistema es el indoarábigo, pero no sabían en qué momento cambiamos de los números romanos (sistema no posicional aditivo) a nuestros sistema posicional, ni por qué lo hicimos. Tuve que plantearles en la pizarra la suma IV+X en vertical para que se hiciesen una idea de la dificultad que tiene sumar utilizando un sistema no posicional aditivo. Pero, bueno, pasemos a la historia:
628 d. C. Ujjain, al noroeste de la India. Brahmagupta, director del observatorio astronómico de la ciudad y hombre de alta posición y prestigio, está terminando su libro Brahma-sphuta-siddhanta (Doctrina de Brahma correctamente establecida), pero le queda un fleco, y bastante gordo, por rematar: ¿cómo distinguir el veintisiete, el doscientos siete o el doscientos setenta, si no existe un símbolo para el cero? Por muy bien establecida que tuviera su doctrina y por muy rimbombante título que tuviera su libro, sin cero, no había libro. Y es que ¿os habéis parado a pensar la importancia que tiene el cero para las matemáticas? Intentad responder a la pregunta responsable de los desvelos de Brahmagupta y os comenzaréis a hacer una idea.
No hay ninguna duda de que, desde la antigüedad, las matemáticas han estado presentes en nuestra vida, aunque a muchos les pese y, como dice Clara Grima, aún no hayan descubierto que les gustan.
Al principio su uso era rudimentario: tengo tres vacas, diez ovejas y doce gallinas, además mi huerto mide quince pies de largo y dieciocho de ancho, pero pies de los míos ¿eh?, no de los del hijo pequeño del vecino. Después, con los egipcios y los babilonios la cosa se complicó un poco porque comenzaron a usar fracciones. Sólo usaron las positivas y con un uno en el numerador, pero, vaya, ya había que aprenderse más reglas de cálculo. Además, comenzaron a usar también las áreas. Cuando el río Nilo se desbordaba y había que volver a dividir las parcelas, ¿qué importaba la forma de la parcela si tenía la misma superficie? En definitiva, que se encontraron nuevos usos de las matemáticas, pero, eso, usos empíricos y en situaciones determinadas. Ningún interés por justificar las leyes empleadas o definir de manera precisa y general las operaciones utilizadas. Si me funciona a mí y aquí, ¿para qué me voy a preocupar de que le funcione a alguien que no conozco que esté en un sitio que tampoco conozco?
Los griegos sí mostraron mucha preocupación por el rigor y la generalización de propiedades, pero por todas aquellas que tuviesen que ver con la geometría. Estaban tan absortos y absorbidos por ella que dedicaron todos sus esfuerzos a fundamentar la geometría y dejaron de lado el álgebra. Sólo al final de la época de esplendor griega, Diofanto (s. III d.C.) volvió a la tradición de los calculadores profesionales, llegando a enunciar las reglas para el cálculo de potencias, la regla de los signos, realizando operaciones, por primera vez, con números negativos y utilizando, también por primera vez, un símbolo literal para representar una incógnita en una ecuación.
Diofanto, de cuya vida sabemos muy poco, debió ser un cachondo y la sal de todas las fiestas, incluso la de su funeral, porque para averiguar la edad a la que murió permitió que en su tumba grabaran un epitafio la mar de curioso, y matemático, por supuesto:
¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo.
Dime, caminante, cuánto años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.
Desde Diofanto hasta el s. XVI, con los algebristas italianos (ver Duelos Matemáticos del s. XVI), no se producen grandes avances en el álgebra. Es necesario que se desarrolle la notación algebraica, que se amplíe la noción de número y que aparezcan el cero, los números negativos y, posteriormente, los números imaginarios, para poder expresar definiciones rigurosas, leyes abstractas y realizar generalizaciones. Y aquí es donde volvemos al principio de nuestra historia: a la aparición del cero y de los números negativos, gracias a los matemáticos indios.
Los indios, de la India (no los de las plumas de Norteamérica, que tenían otros modos de contar y otros sistemas de numeración. Por ejemplo, los indios Yuki de California tenían un sistema de numeración cuaternario, contando los huecos de separación entre los dedos) siempre usaron el sistema decimal y tuvieron especial predilección por los números grandes y por realizar operaciones con ellos. Según cuentan las leyendas, Buda destaca por su extraordinaria capacidad para calcular, llegando a construir un sistema de numeración hasta \[10^{54}\], dando un nombre a cada clase.
El periodo más sobresaliente de la matemática india fue el comprendido entre los siglos V y XII, donde trabajaron, entre otros, los matemáticos y astrónomos: Aryabhata (finales del s. V), Brahmagupta (598 – 670) y Bhaskara Acharia (1114 – 1185).
Si algo destaca de las obras de estos matemáticos, además del contenido matemático propiamente dicho, es que están escritas en sanscrito y en verso. Porque ¿quién ha dicho que matemáticas y literatura son cosas distintas y tienen que ir separadas? Las obras de estos matemáticos son una muestra de cómo se puede escribir poesía matemática o matemática poética.
Aryabhata, que vivió como Brahmagupta al noroeste de la India, nació en el 476, en Taregana, a 30 km de la actual Patna, es considerado el primer gran astrónomo y matemático indio y maestro de todos los que siguieron sus pasos. Sus obras formulan las reglas de la matemática elemental: aritmética, geometría y trigonometría.
Bhaskara, nació en Bijjada Bida, hoy conocido como Bijapur, en 1114, y murió en Ujjain en 1185, tras haber sido, como Brahmagupta, jefe del observatorio astronómico de la misma ciudad y fundador de una escuela de astronomía y matemáticas. Se le considera el último de los matemáticos clásicos de la India. Descubrió el doble signo de las raíces cuadradas y se dio cuenta de que no ocurría lo mismo cuando el radicando era negativo. De los seis libros conocidos de Bhaskara, destacan dos: Lilavati (Hermosa) y Vijaganita (Álgebra).
Lilavati se lo dedica a su hija, de ahí su nombre —o la ceguera del padre, porque no sabemos si la hija era realmente guapa—, y, siguiendo la tradición, lo escribe en sanscrito y en forma de poema. Los trece capítulos del libro tratan distintos temas como: la metrología, las operaciones con números enteros y fracciones, la extracción de raíces, problemas de estanques y mezclas, sumación de series, cálculo de volúmenes, problemas de combinatoria, … En definitiva, que le regaló a su hija un “resumen” de todas las matemáticas que sabía.
Vijaganita tiene ocho partes y en él Bhaskara introdujo la idea de los números infinitamente grandes. Para ello, consideró la división por cero, \[\frac{a}{0}\], y explicó que el resultado es también un número, pero un número que no sufre cambios al sumarle o restarle otros números. Según él, se le puede comparar con el tiempo eterno de la cadena infinita de existencias. Lo que hemos dicho: que los matemáticos indios eran unos maravillosos poetas: además de enseñar matemáticas, intentaban enamorarnos de y con ellas.
Bramahgupta nació en Ujjain en el 590 y es considerado el matemático más grande de esta época, entre otros méritos, por haber ideado el concepto de cero —si no, no hubiese terminado su libro— y el de número negativo. Para él los números pueden tratarse como pertenencias o deudas. Así, las reglas de las operaciones con los números son las siguientes:
- La suma de dos pertenencias es una pertenencia.
- La suma de dos deudas es una deuda.
- La suma de una pertenencia y una deuda es su diferencia y si son iguales es cero.
- La suma del cero y una deuda es una deuda.
- La suma del cero y una pertenencia es una pertenencia.
- El producto de dos pertenencias o dos deudas es una pertenencia.
- El producto de una pertenencia por una deuda es una deuda.
- La división de dos pertenencias o dos deudas es una pertenencia.
- La división de una pertenencia por una deuda es una deuda.
- El cuadrado de una pertenencia o una deuda es una pertenencia.
- La pertenencia tiene dos raíces: una constituye una pertenencia y la otra una deuda.
- La raíz cuadrada de una deuda no existe, ya que una deuda no puede ser un cuadrado.
A pesar de haber introducido los números negativos, los matemáticos indios no los utilizaban como elementos matemáticos, sino como elementos lógicos, ya que según Bhaskara las personas no están de acuerdo con ellos.
En cuanto al cero, hemos de decir que en la civilización occidental (y en otras) existía antes de que Fibonacci lo copiara de los matemáticos árabes, pero su uso era parcial, indicando casi siempre la ausencia de cantidad. Lo que marca la diferencia a partir del uso que le dan los matemáticos indios es que ellos lo consideran también como elemento neutro de la suma y lo insertan en el sistema numérico posicional. De ahí que podamos distinguir el 27, del 207 del 270, y que Brahmagupta pudiera publicar su libro y volver a dormir tranquilo, todo hay que decirlo. 😉