Continuamos con nuestras píldoras matemáticas y lo hacemos con los retos de los algebristas italianos del s. XVI, que son los matemáticos que desarrollaron parte del álgebra que se estudia en Secundaria.
Como os podéis imaginar, mis alumnos de 3º de ESO ya han llegado al tema de ecuaciones, así que ¡cómo no contarles esta parte de la historia tan divertida!
Antes de pasar a la historia vamos a comenzar mostrando cómo se deduce la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, ya que es una de las más conocidas por ser un contenido fijo en los currículums de Secundaria.
Lo primero que debemos tener en cuenta es que las fórmulas no surgen de buenas a primeras. Ningún matemático se levanta una mañana y dice: “ya tengo la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado» o «ya tengo la fórmula que relaciona caras, aristas y vértices en un poliedro”. Las fórmulas son producto de un estudio sobre la situación planteada y de la realización de una serie de pasos, todos ellos fundamentados teóricamente. Dicho esto, veamos cuáles son los pasos para resolver la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0Error parsing MathML: error on line 1 at column 1: Document is emptyax2+bx+c=0cax2+bx=−c con a≠0a≠0Error parsing MathML: error on line 1 at column 1: Document is emptya≠0ax2+bx+c−c=0−cax2+bx=−c (Si a=0a=0Error parsing MathML: error on line 1 at column 1: Document is emptya=0ax2+bx=−c la ecuación sería de primer grado).
En primer lugar restemos en los dos miembros, o como se suele mal decir, pasamos el término independiente al segundo miembro:
\[ax^2+bx=-c\]
En segundo lugar multiplicamos los dos miembros por \[4a\], cosa que podemos hacer porque \[4a\not = 0\] al ser \[a\not =0\], quedando entonces:
A continuación sumamos \[b^2\] en los dos miembros de la ecuación. Cualquiera puede pensar que los pasos que estamos dando son “ideas felices”, que los hacemos porque queremos, pero no es así. Son fruto del estudio previo que se ha hecho de la situación, del domino de algunos resultados básicos del álgebra como las identidades notables: los pasos que estamos dando están dirigidos a encontrar el desarrollo del cuadrado de una suma.
\[4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac\]
El primer miembro de la expresión que acabamos de obtener es el cuadrado de la suma \[2ax+b\]. Una de las identidades notables que nos hicieron aprender allá por 8º de EGB o en 2º de ESO. Escribámoslo así:
\[(2ax+b)^2=b^2-4ac\]
Ahora realizamos la raíz cuadrada en los dos miembros de la igualdad:
\[\pm\sqrt{(2ax+b)^2}=\pm\sqrt{b^2-4ac}\]
En el primer miembro realizar la raíz cuadrada y elevar el cuadrado son operaciones contrarias, con lo cual solo nos queda la base de la potencia:
\[2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\]
Restamos \[b\] en los dos miembros:
\[2ax+b-b=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\]
\[2ax= -b\pm\sqrt{b^2-4ac} \]
Y por último, dividimos los dos miembros por \[2a\] (el \[2a\] que está multiplicando, y es distinto de 0, lo pasamos dividiendo):
\[\frac{2ax}{2a}=\frac{ -b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}\]
\[x=\frac{ -b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}\]
Así pues, acabamos de obtener la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, que todos nos aprendimos de memoria, pero pocos sabíamos cómo se había obtenido.
Como reto para motivar a mis alumnos, después de demostrarles en clase de dónde viene la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado, les propuse que intentasen deducir ellos la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado o, al menos, que la buscasen.
En esta ocasión no tuve éxito y ni siquiera encontraron la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado. Sinceramente no esperaba que fueran capaces de deducirla: es difícil para alumnos de 3º de ESO. Pero sí que pensé que encontrarían la expresión y la copiarían. Para ver cómo se deduce la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado id al final de esta entrada, porque ya va siendo hora de contaros esta historia llena de retos, insultos, duelos y matemáticas:
Venecia, 12 de febrero de 1535. En una plaza de lo más concurrida, Tartaglia deja en ridículo a Fiore. Después de 50 días, Tartaglia ha resuelto las 30 ecuaciones de tercer grado que le propuso Fiore. Fiore no ha resuelto ninguna de las que les propuso Tartaglia. Las risas y las burlas se oyen en toda Venecia. Fiore es un matemático mediocre que no sabe ni siquiera aplicar el método que le enseñó su maestro.
Pongámonos en contexto: durante el s. XVI era costumbre entre los matemáticos italianos retarse, pero no pensemos que se trataba de duelos con espada, nada más lejos de la realidad, se proponían problemas y ecuaciones con los que demostrar su valía matemática y conseguir un puesto en una universidad o el favor de algún noble.
Desde que en el s. IX Al-Jwärizmi encontró la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado, \[ax^2+bx+c=0\], los matemáticos habían estado buscando una fórmula similar que diera las soluciones de las ecuaciones de tercer grado, \[ax^3+bx^2+cx+d=0\], y de grados superiores, pero tal descubrimiento se hizo esperar y no fue hasta el s. XVI cuando Scipio del Ferro, profesor de la Universidad de Bolonia, encontró un método. Este lo mantuvo en secreto, como arma contra sus adversarios en las disputas científicas y como un seguro para seguir contando con el favor de los nobles. Poco antes de su muerte, le confió el secreto a uno de sus alumnos, Antonio Maria Fiore, el pobre con menos luces que la casa de un topo, al menos en lo que a las matemáticas se refiere.
Niccolo Fontana, apodado Tartaglia, era un matemático de una familia pobre que, según comentan los estudiosos, sólo pudo aprender el abecedario hasta la letra K. Después, se acabó el dinero y no pudo seguir recibiendo clase, así que siguió aprendiendo por su cuenta, de forma autodidacta. Se mantuvo como pudo enseñando matemáticas y mecánica, pero, aun así, murió en 1557 víctima de la miseria que nunca le abandonó.
El sobrenombre de Tartaglia, que significa tartamudo, le fue dado porque padeció dicho trastorno desde que recibió una cuchillada de parte un soldado francés, cuando su ciudad natal, Brescia, fue capturada en 1512, durante la Guerra de la Liga de Cambrai. Semejante percance, lo convirtió en un hípster de su época, pues la cara le quedó desfigurada y tuvo que lucir barba durante toda su vida, para ocultar la cicatriz. Tartaglia, que era pobre, pero presumido.
Volvamos a la ecuación de tercer grado. Cuando Tartaglia se enteró de que se había descubierto la fórmula para resolverla, se dedicó a buscar un método de le diera la solución y lo encontró. La noticia se difundió rápidamente como la pólvora y llego a oídos de Fiore. Este, con su escaso talento, pensó que era mentira y retó públicamente a Tartaglia a que resolviera las 30 ecuaciones que él le propusiera, y él resolvería las 30 ecuaciones que le propusiera Tartaglia. Se dieron un plazo de 50 días para resolver todas las ecuaciones, pero Fiore, que ya hemos dicho que no era muy avispado, no aprendió a usar el método de del Ferro –porque está acreditado que el método de del Ferro era correcto– y no fue capaz de resolver ninguna de las 30 ecuaciones propuestas por Tartaglia, mientras que este resolvió todas las propuestas por de Fiore. Su prestigio y reputación como matemático quedaron manchados para siempre.
En este momento entra en la historia Gerolamo Cardano, un hombre talentoso, instruido, amante de la ciencia y, cosa a destacar, rico. Como profesor en Milán, Cardano sabía del interés que despertaba entre los matemáticos la búsqueda de una fórmula que diera la solución de la ecuación de tercer grado. De hecho, pensaba que no existía tal fórmula, pues había leído el libro Summa (1494) y en el Luca Paccioli afirmaba que no existía tal método. Por tanto, cuando supo del reto que había ganado Tartaglia, aprovechó la ocasión para invitar al vencedor a su casa, prometiéndole resolver sus problemas económicos. Recordemos, Cardano era rico y Tartaglia pobre.
Tartaglia en varias ocasiones se niega a confiar su método a Cardano y lo mantiene en secreto, pero Cardano insiste mucho, pero que mucho, llega incluso a prometerle una recomendación al gobernador de Milán, Alfonso de Ávalos. Y tanto va el cántaro a la fuente… que Tartaglia comienza a replantearse su postura: la promesa de Cardano le permitiría tener un cargo en la corte de Milán y dejar de vivir con las estrecheces con las que lo había estado haciendo desde que nació. En marzo de 1539, tras hablar con Cardano y comunicarle su cambio de parecer, viaja a Milán para reunirse con el gobernador. ¡Mala suerte! ¡Está de vacaciones! Ahora bien, Cardano había cumplido su parte del trato e incluso le había escrito una carta de recomendación para cuando el gobernador volviese de su descanso, Tartaglia está obligado a desvelarle su método. Pero no termina de decidirse: se sentía mal por hacerlo a cambio de favores políticos. Así que Cardano siguió con su estrategia de acoso y derribo hasta que, finalmente, y tras jurar sobre los Santos Evangelios que mantendría el secreto, consiguió que Tartaglia le confiara la fórmula. Aun así, bajo el recelo y la inseguridad, Tartaglia lo hace mediante una rima. Con la excusa de que favorecería la memorización, evitaría que la descifraran personas no deseadas.
Gutiérrez, Santiago. Tartaglia: el desafío de una ecuación. Suma, número 56, noviembre 2007, pp 89-96.
En 1542 Cardano y su secretario, Ludovico Ferrari –no sabemos si un pariente lejano de el de los coches–, viajan a Bolonia para revisar los papeles de del Ferro. Estaban buscando cómo solucionar la ecuaciones en las que se obtenían radicandos negativos. El yerno de del Ferro, muy majo él y menos tapujoso que Tartaglia, les da permiso para estudiar los apuntes de su suegro y en dicho repaso, aunque no encuentran nada sobre los radicandos negativos, sí dan con el método de resolución de las ecuaciones de tercer grado, que coincide con el de Tartaglia, pero que tiene una fecha anterior a la del mismo. Cardano se siente libre del juramento: ha encontrado el método en otra fuente, con lo cual si lo publica no rompe su promesa. Así que recopila todo lo que sabe sobre el tema hasta ese momento, incluido el método de resolución de las ecuaciones de tercer grado y el de las ecuaciones de cuarto grado, que lo acaba de descubrir su secretario –al que, por cierto, se le dan muy bien las matemáticas– y lo publica, en 1545, en su libro más conocido: Ars Magna.
Cuando Tartaglia se entera, entra en cólera. Se siente traicionado. Cardano había faltado a su juramento y no le importaba que hubiese contado toda la historia en su libro, ni que lo nombrara como descubridor de la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado de manera independiente al hallazgo de del Ferro, ni nada de nada: había desvelado su método.
Desde el rencor más profundo y lleno de ira, Tartaglia, en sólo un año, escribe un libro, Quesiti et Inventioni Diverse, donde explica su versión y denuncia las malas artes de Cardano. De camino, como no, le reta a un debate. Piensa que de ese modo lo dejará en ridículo y demostrará que es un mal matemático. Pero Cardano, que goza de una buena posición en Milán, ejerciendo como médico y matemático, ni siquiera le contesta, pasa de Tartaglia y deja a su secretario que se encargue del tema, sucediéndose, entonces, una serie de cartas en las que los insultos van y vienen.
En 1548, parece que va a cambiar la suerte de Tartaglia. Recibe una oferta para dar clases en Brescia, su ciudad natal. No obstante, para acceder al cargo, tendrá que demostrar su valía, y no frente a un tribunal de doctos catedráticos, como se hace hoy en día, tendrá que enfrentarse en un duelo matemático con Ferrari. La fecha elegida fue el 10 de agosto de 1548 y el lugar Milán. Al debate acudió lo más granado de la sociedad milanesa, incluido el gobernador, que en esta ocasión no estaba de vacaciones, pero faltó el que más le interesaba a Tartaglia: Cardano.
El tema del duelo fue la resolución de la ecuación de tercer grado y en el cada uno de los contrincantes proponía 31 cuestiones a su adversario, quien debía resolverlas. Tartaglia se veía ganador del desafío, pero al terminar el primer día Ferrari demostró tener un mayor conocimiento sobre el tema y Tartaglia abandonó Milán sin terminar el reto, huyendo a Venecia casi como un fugitivo.
A pesar de la derrota, Tartaglia consigue el puesto en Brescia, pero no le pagan precisamente por haber perdido el duelo, así que se ve obligado a volver a su trabajo de Venecia, porque allí, al menos, le daba para comer.
En los años siguientes escribe varios libros sobre física, teoría de números y matemáticas en general. En Trattato (1556) habla del desarrollo del binomio y se refiere al triángulo aritmético que en la actualidad lleva su nombre o el de Pascal, quien también escribió sobre este tema un siglo más tarde.
Cuando Tartaglia murió en 1557, Cardano estaba comenzando sus problemas con la Iglesia: en 1554 no se le había ocurrido otra cosa que hacer que el horóscopo de Jesús. ¡Qué barbaridad un médico matemático haciendo el horóscopo del Hijo de Dios! ¡Eso era un sacrilegio, por mucha imagen y semejanza que tuviese Jesús con los humanos! Acusado de herejía en 1570, terminó con sus huesos en la cárcel, tras ser procesado por la Santa Inquisición –Tartaglia debía estar bailando en su tumba–. Después de probar las comodidades de las celdas de la época, abjuró de su horóscopo y consiguió la libertad, pero le prohibieron volver a publicar, no fuera que se le ocurriese ahora hacer el horóscopo de la Virgen María. Decidió mudarse a Roma y, apelando a la misericordia divina, consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII (el del calendario gregoriano). A partir de ese momento se dedicó a la medicina y a escribir libros sobre esta materia. Incluso tuvo tiempo de escribir una autobiografía antes de morir en 1576.
En cuanto a la resolución de las ecuaciones de grado superior a cuatro, los matemáticos de la época y de los siglos siguientes siguieron buscando infructuosamente fórmulas que dieran sus soluciones, hasta que en 1799 Ruffini dio una prueba (incompleta hasta 1823 cuando Abel hizo sus aportaciones) de la imposiblidad de encontrar las soluciones de las ecuaciones de grado cinco mediante radicales: se trata del Teorema de Ruffini-Abel. Posteriormente, Galois demostraría que una ecuación se puede resolver por radicales si tiene un grupo de Galois que se puede resolver, generalizando el resultado de Ruffini y de Abel, puesto que ellos sólo calcularon el grupo de Galois del polinomio general de grado cinco.
Las fórmulas para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado son un poco más difíciles de conseguir que la de segundo grado, así que os voy a enseñar cómo obtener la fórmula para la ecuación de tercer grado y la de la ecuación de cuarto grado la dejamos para los lectores interesados.
Partamos de la ecuación general de la ecuación de tercer grado \[ax^3+bx^2+cx+d=0\] con \[a\not=0\]
Como \[a\not = 0\] podemos dividir por \[a\] y pasarla a forma normal, quedándonos \[x^3+fx^2+gx+h=0\].
Si hacemos el cambio de variable: \[x=z-\frac{f}{3}\], eliminamos de la forma normal el término de grado 2 y obtenemos la forma reducida \[z^3+pz+q=0\], donde \[p=g-\frac{f^2}{3}\] y \[q=\frac{2f^3}{27}-\frac{fg}{3}+h\]
A continuación aplicamos el método de Cardano en la fórmula reducida \[z^3+pz+q=0\]. Es decir, definimos \[z=u+v\] y obtenemos:
\[z^3=(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=u^3+3uv(u+v)+v^3=3uv·z+u^3+v^3\]
donde, al hacer la equivalencia de los coeficientes con la ecuación de partida, tenemos que:
\[\left \{
3uv=-p \atop
u^3+v^3=-q
\right.\]
que es equivalente al sistema de ecuaciones
\[\left \{
u^3v^3=-\left({\frac{p}{3}}\right)^3 \atop
u^3+v^3=-q
\right.\]
De las expresiones anteriores, y utilizando las fórmulas de Viète, obtenemos que \[u^3\] y \[v^3\] son las soluciones de la ecuación de segundo grado \[z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0\], cuyo discriminante es \[\Delta=q^2+\frac{4}{27}p^3\].
Realicemos ahora el estudio del discriminante para obtener las soluciones:
Si \[\Delta\] es positivo,
\[u=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}\], \[v=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}\]
y la única solución real es \[z_{0}=u+v\], donde tendremos que hacer el camio de variable.
Las otras dos soluciones son complejas (conjugadas) y son:
\[\left \{
z_{1}=ju+\overline{j}v \atop
z_{2}=j^2u+\overline{j^2}v
\right.\]
con
\[\left \{
j=-\frac{1}2{}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{2\pi}{3}} \atop
j^2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{4\pi}{3}}
\right.\]
Por tanto si \[\Delta>0\], la ecuación tiene una solución real y dos complejas.
Si \[\Delta\] es cero, la ecuación tiene dos soluciones reales, una simple y otra doble:
\[ \left \{
z_{0}=2\sqrt[3]{\frac{-q}{2}}=-2\sqrt{\frac{-p}{3}}=\frac{3q}{p}\atop
z_{1}=z_{2}=-\sqrt[3]{\frac{-q}{2}}=\sqrt{\frac{-p}{3}}=\frac{-3q}{2p}
\right. \]
donde hemos tenido en cuenta varias veces la relación que se da entre \[p\] y \[q\] cuando \[\Delta=0\], es decir: \[q^2+\frac{4}{27}p^3=0\]
Si \[\Delta\] es negativo, \[u=\sqrt[3]{\frac{-q+i\sqrt{|\Delta|}}{2}}\] y las soluciones son la suma de dos complejos conjugados, \[j^ku\] y \[\overline{j^ku}\], con \[k\in\{0,1,2\}\], por tanto son tres números reales:
\[ \left \{ \begin{array}{lcl}
z_{0}=u+\overline{u} \\
z_{1}= ju+\overline{ju} \\
z_{2}=j^2u+\overline{j^2u}
\end{array}
\right. \]
Para obtener la forma real de las soluciones basta con escribir \[j^ku\] en forma trigonométrica y obtenemos:
\[z_{k}=2\sqrt{\frac{-p}{3}}\cos \Bigg(\frac{1}{3}\arccos\Bigg(\frac{-q}{2}\sqrt{\frac{27}{-p^3}}\Bigg)+\frac{2k\pi}{3}\Bigg)\] con \[k \in \{0,1,2\}\]
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada X.6, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.