En estos días finales del curso una de las actividades de ampliación que les voy a proponer a mis alumnos será calcular el circuncentro, el baricentro, el incentro, el ortocentro y la recta de Euler, pero sin usar regla, compás, escuadra y cartabón. Usando esos materiales es algo que todos hemos hecho alguna vez y que nos enseñaron, además, cuando éramos bastante jovencitos. Lo que igual no aprendimos son algunas características que tienen esos puntos dependiendo del tipo de triángulo en el que estemos trabajando. Para que a mis alumnos no les pase eso les he preparado una actividad en la que van a tener que calcular esos puntos y rectas notables mediante papirofléxia. Sólo podrán usar papel, tijeras, pegamento y lápices de colores.
Para comenzar les he preparado el siguiente juego con el que recordarán los conceptos básicos que vamos a repasar:
Este juego lo he insertado en un cuestionario que tiene tres secciones:
- La primera consiste en realizar el juego y contestar a una pregunta relativa al mismo. Hasta que no se contesta a esa pregunta, no se pasa a la siguiente sección.
- En la segunda sección tendrán que recortar tres triángulos: uno acutángulo, otro rectángulo y otro obtusángulo. Sobre el triángulo acutángulo tendrán que calcular el circuncentro, el baricentro, el incentro, el ortocentro y la recta de Euler, pero sólo podrán hacerlo doblando el papel, para ello tendrán qué tener en cuenta qué propiedades tienen las rectas y los segmentos que definen esos puntos. No se trata de conocer el mecanismo de construcción como ocurre cuando los calculamos usando compás, regla, escuadra y cartabón. Hay que entender qué significa mediatriz, qué es una mediana, qué significa bisectriz y qué es una perpendicular a un segmento desde un punto (altura). Los lápices de colores les servirán para marcar los puntos y la recta de Euler, y que así los puedan identificar con facilidad. Para terminar esta sección tendrán que repetir el cálculo de los cuatro puntos notables y de la recta de Euler en los triángulos rectángulo y obtusángulo y comprobar qué ocurre en esos casos. De hecho hasta que no contesten a esa pregunta no podrán pasar a la tercera sección. Como sabemos en estos triángulos el circuncentro y el ortocentro dejan de estar en el interior del triángulo, así que por eso se les permite usar pegamento, para que puedan pegar los triángulos (sobre todo pensando en el obtusángulo) en otro papel y así ver dónde quedan dichos puntos fuera (o en la frontera (triángulo rectángulo)) del triángulo. No obstante, no les diré nada de esto. Se trata de que ellos «choquen» con el problema y traten de solucionarlo. Si no se les ocurre cómo hacerlo, ya les daré pistas, pero mi idea es que esta sorpresa (que lo será) les haga aprender que hay puntos notables que pueden no estar dentro de un triángulo y que eso depende del tipo de triángulo.
- Por último, en la tercera sección tendrán que situar estos puntos usando GeoGebra. La ventaja es que ahora sólo necesitan realizar los cálculos en un triángulo, da igual del tipo que sea. Una vez que los tengan hechos, bastará con mover un vértice para ver cómo el circuncentro y el ortocentro están dentro, en la frontera o fuera del triángulo según este sea acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
De todas las construcciones, tanto en papel como con GeoGebra, tendrán que añadir al cuestionario una foto, así podremos ver cómo van ejecutando los ejercicios. En el caso de GeoGebra, además, tendrán que enviar el archivo o el enlace donde aparecen los cálculos. Ese archivo debe ser parecido al siguiente:
Para terminar os dejo el enlace al cuestionario, por si queréis intentarlo, o copiarlo para vuestros alumnos. 😉